Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，F(xiàn)（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）若x=0是F（x）的極值點，求a的值；
（2）當(dāng) a=1時，設(shè)P（x1 ， f（x1）），Q（x2 ， g（x2））（x1＞0，x2＞0），且PQ∥x軸，求P、Q兩點間的最短距離；
（3）若x≥0時，函數(shù)y=F（x）的圖象恒在y=F（﹣x）的圖象上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： F（x）=ex+sinx﹣ax，F(xiàn)′（x）=ex+cosx﹣a．

因為x=0是F（x）的極值點，所以F′（0）=1+1﹣a=0，a=2．

又當(dāng)a=2時，若x＜0，F(xiàn)'（x）=ex+cosx﹣a＜0；若x＞0，F(xiàn)'（x）=ex+cosx﹣a＞0．

∴x=0是F（x）的極小值點，

∴a=2符合題意．

（2）解：∵a=1，且PQ∥x軸，由f（x1）=g（x2）得： ，

所以 ．

令h（x）=ex+sinx﹣x，h′（x）=ex+cosx﹣1＞0，當(dāng)x＞0時恒成立．

∴x∈[0，+∞）時，h（x）的最小值為h（0）=1．

∴|PQ|min=1．

（3）解：令φ（x）=F（x）﹣F（﹣x）=ex﹣e﹣x+2sinx﹣2ax．

則φ′（x）=ex+e﹣x+2cosx﹣2a．S（x）=φ′′（x）=ex﹣e﹣x﹣2sinx．

因為S′（x）=ex+e﹣x﹣2cosx≥0當(dāng)x≥0時恒成立，

所以函數(shù)S（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴S（x）≥S（0）=0當(dāng)x∈[0，+∞）時恒成立；

因此函數(shù)φ′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，φ′（x）≥φ′（0）=4﹣2a當(dāng)x∈[0，+∞）時恒成立．

當(dāng)a≤2時，φ′（x）≥0，φ（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，即φ（x）≥φ（0）=0．

故a≤2時F（x）≥F（﹣x）恒成立．

【解析】（1）、根據(jù)題意先求出函數(shù)F（x）的函數(shù)表達(dá)式，再求出其導(dǎo)函數(shù)F′（x），令F′（0）=0便可求出a的值；（2）、根據(jù)題意可知（x1）=g（x2），令h（x）=x2﹣x1=ex+sinx﹣x，求出其導(dǎo)函數(shù)，進而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點間的最短距離；（3）、令φ（x）=F（x）﹣F（﹣x），求出其導(dǎo)函數(shù)，便可求出φ（x）的單調(diào)性，進而可求得a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值的相關(guān)知識點，需要掌握極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況才能正確解答此題．