Question

8個(gè)人手里分別有一張卡，他們彼此送卡，要求每個(gè)人都有一張卡而且自己不能拿到自己的卡，問有多少種可能？

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,排列組合

分析：可考慮更一般的情況，即設(shè)共有n個(gè)人，可能的方法為a_n，n個(gè)人各有1張卡，他們彼此送卡，要求每個(gè)人都有一張卡而且自己不能拿到自己的卡，給這n張卡編號(hào)，第一步安排1號(hào)卡，共有n-1種方法，此時(shí)不妨把1號(hào)卡給了i號(hào)（i≠1），再安排i號(hào)卡有兩種情況：①i號(hào)放在1號(hào)位置；②i號(hào)卡不安排在1號(hào)位置．由兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，即可得到a_n=（n-1）（a_n-1+a_n-2）（n＞3），再由n=2，3，4，…，8，即可得到答案．

解答： 解：設(shè)共有n個(gè)人，可能的方法為a_n，給這n張卡編號(hào)，第一步安排1號(hào)卡，共有n-1種方法，
此時(shí)不妨把1號(hào)卡給了i號(hào)（i≠1），再安排i號(hào)卡有兩種情況：①i號(hào)放在1號(hào)位置，此時(shí)剩余n-2張卡要分給n-2個(gè)人，要求依然是號(hào)碼均不相同，故有a_n-2種可能；②i號(hào)卡不安排在1號(hào)位置，要給n-1個(gè)人，要求依然是號(hào)碼均不相同，故有方法數(shù)為a_n-1．
所以a_n=（n-1）（a_n-1+a_n-2）．
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=1，當(dāng)n=3時(shí)，a₃=2，當(dāng)n=4時(shí)，a₄=3（a₂+a₃）=9，
當(dāng)n=5時(shí)，a₅=4（a₄+a₃）=44，當(dāng)n=6時(shí)，a₆=5（a₅+a₄）=265，
當(dāng)n=7時(shí)，a₇=6（a₆+a₅）=1854，
當(dāng)n=8時(shí)，a₈=7（a₇+a₆）=14833．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合的應(yīng)用題，考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用：注意分類相加，分步相乘，是一道難題．