【題目】如圖,在正方形ABCD的一邊CD內(nèi)任取一點(diǎn)E,過(guò)E作對(duì)角線AC的平行線,交對(duì)角線BD于點(diǎn)G、交邊AD于點(diǎn)H、交邊BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)BH交DF于點(diǎn)M求證:

(1)C、G、M三點(diǎn)共線;

(2)C、E、M、F四點(diǎn)共圓.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)由已知有,.于是,

,則H是的垂心.

故通過(guò)H的BM也是三角形的高線,得

進(jìn)而,M、A、B、C、D五點(diǎn)共圓(或說(shuō)點(diǎn)M在正方形ABCD的外接圓上).

如下圖.聯(lián)結(jié)CM、CC.則CM、CG在CD的同側(cè),有.①

又由H是的垂心,有M、F、B、G的四點(diǎn)共圓.于是,.②

由式①、②有

于是,CM與CG重合.

因此,C、G、AM三點(diǎn)共線.

(2)由(1)知M、F、B、G四點(diǎn)共圓及M、A、B、C、D五點(diǎn)共圓,得

于是,C、E、M、F四點(diǎn)共圓.

【注】當(dāng)點(diǎn)E沿方向運(yùn)動(dòng)到線段CD之外時(shí),結(jié)論仍成立(可用坐標(biāo)法統(tǒng)一證明).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試,誰(shuí)獲得合格證書(shū)的可能性最大?

2)這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后,求恰有兩人獲得合格證書(shū)的概率.

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A. B. C. D.

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(1)若,求;

(2)若,分別交軸于兩點(diǎn),試問(wèn)的外接圓是否過(guò)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于20191018日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng),329個(gè)小項(xiàng).來(lái)自100多個(gè)國(guó)家的近萬(wàn)名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競(jìng)技.軍運(yùn)會(huì)召開(kāi)前,為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開(kāi),武漢市很多單位和部門(mén)都開(kāi)展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng),努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí),并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對(duì)軍運(yùn)會(huì)知識(shí)的知曉情況,在全市開(kāi)展了網(wǎng)上問(wèn)卷調(diào)查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

組別

30,40

4050

50,60

6070

70,80

80,90

90,100

頻數(shù)

5

30

40

50

45

20

10

1)若此次問(wèn)卷調(diào)查得分X整體服從正態(tài)分布,用樣本來(lái)估計(jì)總體,設(shè)分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表),

①求的值;

②經(jīng)計(jì)算,求的值.

2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動(dòng),市體育局還對(duì)參加問(wèn)卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:得分低于的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),得分不低于的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),在一次抽獎(jiǎng)中,抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品的概率為;抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品的概率為,現(xiàn)有市民張先生參加了此次問(wèn)卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者,記為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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