Question

已知某物體的溫度θ（單位：攝氏度）隨時(shí)間t（單位：分鐘）的變化規(guī)律是：θ=m•2^t+2^1-t（t≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求經(jīng)過多少時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；
（2）若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將m=2，θ=5代入θ=m•2^t+2^1-t（t≥0）解指數(shù)方程即可求出t的值；
（2）問題等價(jià)于m•2^t+2^1-t≥2（t≥0）恒成立，求出m•2^t+2^1-t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立關(guān)系，解之即可求出m的范圍．
解答：解：（1）依題意可得5=2•2^t+2^1-t，
即2•（2^t）²-5•2^t+2=0．
亦即（2•2^t-1）（2^t-2）=0，
又∵t≥0，得2^t=2，
∴t=1．
故經(jīng)過1分鐘該物體的溫度為5攝氏度．
（2）問題等價(jià)于m•2^t+2^1-t≥2（t≥0）恒成立．
∵m•2^t+2^1-t=m•2^t+2•2^-t≥2，①
∴只需2≥2，
即m≥．
當(dāng)且僅當(dāng)•2^t=2•2^-t，
即t=1時(shí)，①式等號(hào)成立，
∴m的取值范圍是[，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的實(shí)際應(yīng)用，以及恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．