Question

已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是：θ＝m·2^t＋2^1－t(t≥0，并且m>0)．

(1)如果m＝2，求經(jīng)過多少時間，物體的溫度為5攝氏度；

(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．

Answer 1

 (1)依題意可得5＝2·2^t＋2^1－t，

即2·(2^t)²－5·2^t＋2＝0.  亦即(2·2^t－1)(2^t－2)＝0，

又∵t≥0，得2^t＝2，∴t＝1.

故經(jīng)過1分鐘該物體的溫度為5攝氏度．

(2)法一：問題等價于m·2^t＋2^1－t≥2(t≥0)恒成立．

∵m·2^t＋2^1－t＝m·2^t＋2·2^－t≥2，　�、�

∴只需2≥2，即m≥.

當且僅當·2^t＝2·2^－t，

即t＝1時，①式等號成立，

∴m的取值范圍是[，＋∞)．

法二：問題等價于m·2^t＋2^1－t≥2(t≥0)恒成立，

即m≥2^1－t－2^1－2t＝2[2^－t－(2^－t)²]

＝－2(2^－t－)²＋(t≥0)恒成立．

∵t≥0，∴0<2^－t≤1，當2^－t＝，

即t＝1時，－2(2^－t－)²＋有最大值.

∴m的取值范圍是[，＋∞)．