Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：x²+y²+6x-2y+7=0相切．過點(diǎn)（0，-

1

2

）的直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（II）當(dāng)△APQ的面積達(dá)到最大時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

（I）將圓M的一般方程x²+y²+6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程（x+3）²+（y-1）²=3，則圓M的圓心M（-3，1），半徑r=

3

．
由A(0，1)，F(xiàn)(-c，0)(c=

a2-1

)得直線AF的方程為x-cy+c=0．
由直線AF與圓M相切，得

|-3-c+c|

1+c2

=

3

，
解得c=

2

或c=-

2

（舍去）．
當(dāng)c=

2

時(shí)，a²=c²+1=3，
故橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（II）由題意可知，直線PQ的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線PQ的方程為y=kx-

1

2

．
因?yàn)辄c(diǎn)(0，-

1

2

)在橢圓內(nèi)，所以對(duì)任意k∈R，直線都與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)．
由

y=kx- 1 2 x2 3 +y2=1

得(1+3k2)x2-3kx-

9

4

=0．
設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則y1=kx1-

1

2

，y2=kx2-

1

2

，x1+x2=

3k

1+3k2

，x1x2=-

9

4(1+3k2)

，
所以|PQ|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 (1+k2)(1+4k2)

1+3k2

．
又因?yàn)辄c(diǎn)A（0，1）到直線y=kx-

1

2

的距離d=

3

2 k2+1

，
所以△APQ的面積為S=

1

2

|PQ|•d=

9 1+4k2

4(1+3k2)

．
設(shè)t=

1

1+3k2

，則0＜t≤1且k2=

1

3t

-

1

3

，S=

9

4

t•

4 3t - 1 3

=

9

4

4t 3 - t2 3

=

9

4

- 1 3 (t-2)2+ 4 3

．
因?yàn)?＜t≤1，所以當(dāng)t=1時(shí)，△APQ的面積S達(dá)到最大，
此時(shí)

1

1+3k2

=1，即k=0．
故當(dāng)△APQ的面積達(dá)到最大時(shí)，直線的方程為y=-

1

2

．