Question

10．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x（a≠0）．若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處切線與在點(diǎn)（4，f（4））處的切線互相平行，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′x），分別求得切線的斜率f′（2），f′（4），由切線平行的條件：斜率相等，可得方程，從而求出a的值．

解答 解：∵f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x的導(dǎo)數(shù)為
f′x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2{a}^{2}}{x}$+1，
∴在點(diǎn)（2，f（2））處切線斜率為f′（2）=$\frac{a}{2}$-a²+1，
在點(diǎn)（4，f（4））處切線斜率為f′（4）=$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$a²+1．
∵兩切線平行，
∴$\frac{a}{2}$-a²+1=$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$a²+1．
解得a=$\frac{1}{2}$（0舍去）．
故a的值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線平行的條件，屬于中檔題．