Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．
（Ⅰ）證明：AP⊥BC；
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B-AP-C的大�。�

Answer 1

分析：（I）由題意．因為PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上所以BC⊥PO．有AB=AC，D為BC的中點，得到BC⊥AD，進而得到線面垂直，即可得到所證；
（II）有（I）利用面面垂直的判定得到PA⊥平面BMC，再利用二面角的定義得到二面角的平面角，然后求出即可．

解答：解：（I）由題意畫出圖如下：
由AB=AC，D為BC的中點，得AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，得到PO⊥BC，
∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．
（II）如圖，在平面PAB中作BM⊥PA于M，連接CM，
∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC為二面角B-AP-C的平面角，
在直角三角形ADB中，AB2=AD2+BD2=41 得：AB=

41

；
在直角三角形POD中，PD²=PO²+OD²，在直角三角形PDB中，PB²=PD²+BD²，∴PB²=PO²+OD²+BD²=36，得PB=6，
在直角三角形POA中，PA²=AO²+OP²=25，得PA=5，
又cos∠BPA=

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=

1

3

，從而sin∠BPA=

2 2

3

．
故BM=PBsin∠BPA=4

2

．同理：CM=4

2

，
∵BM²+MC²=BC²，∴二面角B-AP-C的大小為90°．

點評：（I）此問考查了線面垂直的判定定理，還考查了線面垂直的性質定理；
（II）此問考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定義，還考查了在三角形中求解．