Question

【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；

（2）求出f（x）導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線方程，由題意可得關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)解，即有且只有一個(gè)解．令，求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)m討論，求出單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用單調(diào)性即可得到m的范圍．

試題解析：

(1)由題意知， ，

所以.

令得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，

因?yàn)?/span>與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),

即關(guān)于的方程有且只有一個(gè)解，

即有且只有一個(gè)解.

令，

則.

①時(shí)，由得，由，得，

所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),

又，故符合題意；

②當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，

所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，

又，且當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

故不合題意；

③當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù)，且，

故符合題意；

④當(dāng)，由，得或，由，得，

所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

又，且當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

故不合題意；

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍或.