【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c滿足f'(0)=4,f'(-2)=0。

(1)求a,b的值及曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)若函數(shù)f(x)有三個不同的零點,求c的取值范圍。

【答案】(1)a=b=4,y=4x+c;(2)(0, ).

【解析】試題分析:(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),由f'(0)=4,f'(-2)=0求得a,b的值,再求得切線的斜率和切點,進(jìn)而得到所求切線的方程;
(2)由f(x)=0,可得-c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x,求得導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間和極值,由-c介于極值之間,解不等式即可得到所求范圍.

試題解析:

(1)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2+2ax+b,

根據(jù)題意得: ,解得.

可得y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為k=f′(0)=b=4,

切點為(0,c),可得切線的方程為y=4x+c;

(2)由(1)f(x)=x3+4x2+4x+c

f(x)=0,可得c= x3+4x2+4x,

g(x)= x3+4x2+4x的導(dǎo)數(shù)g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2)

當(dāng)x<2,g′(x)>0,g(x)遞增;

當(dāng)2<x<,g′(x)<0,g(x)遞減.

即有g(x)x=2處取得極大值,且為0;

g(x)x=處取得極小值,且為,

由函數(shù)f(x)有三個不同零點,可得<c<0,

解得0<c<,

c的取值范圍是(0, ).

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