Question

3．若m+k=3，則S=m•3^m+k•3^k的最小值為9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)m+k=3．進行分類討論，分別構(gòu)造函數(shù)f（m）=m•3^m，g（m）=（3-m）•3^3-m，分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值

解答 解：∵m+k=3，
∴S=m•3^m+k•3^k=m•3^m+（3-m）•3^3-m，
設(shè)f（m）=m•3^m，g（m）=（3-m）•3^3-m，
當m≤0時，g（m）為增函數(shù)，且g（m）≥g（0）=81，
f（m）=-|m|•3^-|m|，由于從y=x與y=2x的圖象易知，|m|≤3^|m|，
∴|m|•3^-|m|≤1，
∴f（m）=-|m|•3^-|m|≥-1，
∵S=f（m）+g（m）≥-1+81=80；
當m≥3時，由于f（m）與h（m）關(guān)于x=1對稱，同上可得f（m）≥80，
當0＜m＜3時，f（0）=g（3），f（3）=g（0）=81，
∴f′（m）=（mln3+1）3^m＞0，
g′（m）=-[（3-m）ln3+1]3^3-m＜0，且f′（m），g′（m）均為單調(diào)遞增，
當0＜m＜$\frac{3}{2}$，f′（m）＜f′（1）=${2}^{\frac{3}{2}}$（$\frac{3}{2}$ln3+1），g′（m）＜g（$\frac{3}{2}$）=-${2}^{\frac{3}{2}}$（$\frac{3}{2}$ln3+1），
∴S′=f′（m）+g′（m）＜0單調(diào)遞減，
當$\frac{3}{2}$≤m＜3時，同理可得S′=f′（m）+g′（m）≥0單調(diào)遞增（當m=$\frac{3}{2}$時等號成立）
所以當m=$\frac{3}{2}$時，S取得最小值，最小值為9$\sqrt{3}$
故答案為：9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系，關(guān)鍵是掌握等號成立的條件，屬于中檔題．