Question

如圖：直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是邊長為2a的菱形，∠BAD=60°，E為AB中點(diǎn)，二面角A₁-ED-A為60°．
（I）求證：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；
（II）求二面角A₁-ED-C₁的余弦值；
（III）求點(diǎn)C₁到平面A₁ED的距離．

Answer 1

分析：（I）由題意及△ABD為正三角形，和平面ABB₁A₁⊥平面ABCD且交于AB，利用面面垂直的判定定理即可得證；
（II）由（I）的過程及直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁⊥面ABCD．利用三垂線定理的逆定理及條件得到二面角的平面角，然后在三角形中求解即可；
（III）由題意及平面A₁ED⊥面ABB₁A₁的性質(zhì)定理得到FG是點(diǎn)F到平面A₁ED的距離，然后在三角形中解出即可．

解答：解：（I）證明：連接BD，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴△ABD為正三角形，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴ED⊥AB，
在直六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
平面ABB₁A₁⊥平面ABCD且交于AB，
∵ED?面ABCD∴ED⊥面ABB₁A₁，
∴平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁．
（II）解：由（I）知：ED⊥面ABB₁A₁
∵A₁E?面ABB₁A₁
∴A₁E⊥ED
又在直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AA₁⊥面ABCD，
由三垂線定理的逆定理知：AE⊥ED，
∴∠A₁EA=60°，
取BB₁的中點(diǎn)F，連EF．AB₁，則EF

∥ .

.

1

2

AB1，在直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AB₁

∥ .

.

DC₁
∴EF

∥ .

.

1

2

DC1
∴E．F．C₁、D四點(diǎn)共面，
∵ED⊥面ABB₁A₁且EF?面ABB₁A₁
∴EF⊥ED
∴∠A₁EF為二面角A₁-ED-C₁的平面角，
在Rt△A₁AE中：A1E=

AE

cos600

=2a，AA1=A1Esin600=

3

a
在Rt△EBF中：EF=

a2+ 3 4 a2

=

7

2

a，
在Rt△A₁B₁F中：A1F=

4a2+ 3 4 a2

=

19

2

a
∴在Rt△A₁EF中：cos∠A1EF=

4a2+ 7 4 a2- 19 4 a2

2×2a× 7 2 a

=

7

14

，
∴二面角A₁-ED-C₁的余弦值為

7

14

，
（III）過F作FG⊥A₁E交A₁E于G點(diǎn)
∵平面A₁ED⊥面ABB₁A₁
且平面A₁ED∩面ABB₁A₁=A₁E
∴FG⊥平面A₁ED，
即：FG是點(diǎn)F到平面A₁ED的距離，
在Rt△EGF中：cos∠GEF=

7

14

∴sin∠GEF=

3 21

14

∴FG=EFsin∠GEF=

7

2

a×

3 21

14

=

3 3

4

a，
∵EF

∥ .

.

1

2

C1D且E．D∈面A₁ED
∴點(diǎn)C₁到平面A₁ED的距離為

3 3

2

a．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了面面垂直的性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理，線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，還考查了利用三垂線定理或其逆定理求找二面角平面角的方法，同時(shí)考查了學(xué)生的空間想象能力及利用三角形求角的大小的計(jì)算能力．