Question

【題目】從數(shù)列中取出部分項(xiàng)組成的數(shù)列稱為數(shù)列的“子數(shù)列”.

（1）若等差數(shù)列的公差，其子數(shù)列恰為等比數(shù)列，其中，，，求；

（2）若，，判斷數(shù)列是否為的“子數(shù)列”，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）3n﹣1﹣n（2）見解析

【解析】

（1）運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得首項(xiàng)和公差的關(guān)系，可得等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得kn＝23n﹣1﹣1，再由數(shù)列的分組求和，即可得到所求和；

（2）數(shù)列{bn}為{an}的“子數(shù)列”．由3k﹣2＝4n，可得3k＝4n+2，運(yùn)用二項(xiàng)式定理即可得證．

（1）等差數(shù)列{an}的公差d≠0，其子數(shù)列{a}恰為等比數(shù)列，

其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，可得aa1，aa5，aa17，

且有a52＝a1a17，即（a1+4d）2＝a1（a1+16d），

化為a1＝2d，則an＝a1+（n﹣1）d＝（n+1）d，

子數(shù)列{a}為首項(xiàng)為2d，公比為3的等比數(shù)列，

則a2d3n﹣1＝（kn+1）d，可得kn＝23n﹣1﹣1，

則k1+k2+…+kn＝（2+6+…+23n﹣1）﹣n

n＝3n﹣1﹣n；

（2）若an＝3n﹣2，bn＝4n，數(shù)列{bn}為{an}的“子數(shù)列”．

由3k﹣2＝4n，可得3k＝4n+2，

由4n＝（1+3）n＝1+C3+C32+…+3n，

即有4n+2＝3（1+CC3+…+3n﹣1），顯然為3的倍數(shù)，

故數(shù)列{bn}為{an}的“子數(shù)列”．