Question

在計(jì)算機(jī)的算法語言中有一種函數(shù)[x]叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)），它表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[2]=2，[3.1]=3，[-2.6]=-3，設(shè)函數(shù)f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，則函數(shù)y=[f（x）]+[f（-x）]的值域?yàn)椋ā　。?/div>

A．{0}

B．{-1，0}

C．{-2，0}

D．{-1，0，1}

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分析：由題意知，函數(shù)f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，是定義域R上的奇函數(shù)，且值域是（-

1

2

，

1

2

）；f（-x）的值域也是（-

1

2

，

1

2

）；分x=0，x＞0，x＜0時(shí)討論函數(shù)y的值即可．

解答：解：由題意，
∵函數(shù)f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，
∴f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

；
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜

1

1+2x

＜ 1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

；
即 -

1

2

＜f（-x）＜

1

2

．所以，-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
當(dāng)x≠0時(shí)，若x＞0，則0＜f（x）＜

1

2

，-

1

2

＜f（-x）＜0，
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，則y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函數(shù)y的值域?yàn)閧0，-1}．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題以高斯函數(shù)為素材，用求值域來考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)取整問題，有一定的技巧．

Answer 1

分析：由題意知，函數(shù)f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，是定義域R上的奇函數(shù)，且值域是（-

1

2

，

1

2

）；f（-x）的值域也是（-

1

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，

1

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）；分x=0，x＞0，x＜0時(shí)討論函數(shù)y的值即可．

解答：解：由題意，
∵函數(shù)f(x)=

2x

1+2x

-

1

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，
∴f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

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=

1

1+2x

-

1

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；
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜

1

1+2x

＜ 1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

；
即 -

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＜f（-x）＜

1

2

．所以，-

1

2

＜f（x）＜

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．
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
當(dāng)x≠0時(shí)，若x＞0，則0＜f（x）＜

1

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，-

1

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＜f（-x）＜0，
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，則y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函數(shù)y的值域?yàn)閧0，-1}．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題以高斯函數(shù)為素材，用求值域來考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)取整問題，有一定的技巧．