Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足

(1) 求實數(shù)，的值；

(2) 試指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不必證明），

并用定義法證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性；

(3) 是否存在實數(shù)同時滿足以下兩個條件：

① 不等式對恒成立；

② 方程在上有解．若存在，試求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由，解得b=4，  

由（x≠0）是奇函數(shù)，得恒成立，

即；              

（2）由（1）知，，任取，，

，
∴，
∴，                          

所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，2]單調(diào)遞減；                 

類似地，可證f（x）在區(qū)間（2，+∞）單調(diào)遞增。

（3）對于條件①：

由（2）可知函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值   

故若對x∈（0，+∞）恒成立，    

則需，∴；                   

對于條件②：由（2）可知函數(shù)f（x）在（-∞，-2）單調(diào)遞增，

在[-2，0)單調(diào)遞減，                                    

∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]單調(diào)遞增，在[-2，-1]單調(diào)遞減，       

又，，
所以函數(shù)f（x）在[-6，-1]上的值域為，        

若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，則需，
若同時滿足條件①②，則需

故當時，條件①②同時滿足．