選修4-5：不等式選講：已知a＞0，b＞0．求證：(a+b+
1
a
)(a2+
1
b
+
1
a2
)≥9．
分析：由已知中a＞0，b＞0，由基本不等式我們可得a+b+
1
a
≥3
3a•b•
1
a
=3
3b
＞0，a2+
1
b
+
1
a2
≥3
3
1
b
＞0，進而由不等式的基本性質(zhì)，可得結(jié)論．
解答：證明：因為a＞0，b＞0，所以a+b+
1
a
≥3
3a•b•
1
a
=3
3b
＞0．①…（4分）
同理可證a2+
1
b
+
1
a2
≥3
3
1
b
＞0．②…（6分）
由①，②結(jié)合不等式的性質(zhì)得(a+b+
1
a
)(a2+
1
b
+
1
a2
)≥3
3b
×3
3
1
b
=9．…（10分）
點評：本題考查的知識點是不等式的證明，基本不等式的用法，其中根據(jù)基本不等式分別求出不等號左邊兩個式子的范圍，是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5：不等式選講
設(shè)x，y，z∈（0，+∞），且x+y+z=1，求
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選修4-5：不等式選講】
求下列不等式的解集
（Ⅰ）|2x-1|-|x+3|＞0
（Ⅱ）x+|2x-1|＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5：不等式選講：
設(shè)正有理數(shù)x是
2
的一個近似值，令y=1+
1
1+x
．
（Ⅰ）若x＞
2
，求證：y＜
2
；
（Ⅱ）比較y與x哪一個更接近于
2
？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•鹽城模擬）（選修4-5：不等式選講）
已知a，b，c為正數(shù)，且a2+a2+c2=14，試求a+2b+3c的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•烏魯木齊一模）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（I）求證f（x）≥1；
（II）若f（x）=
a2+2
a2+1
成立，求x的取值范圍．

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