Question

函數(shù)f（x）=ax|x-b|在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)的充要條件是    ．

Answer 1

【答案】分析：可將此函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，由于要研究函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性，只需要研究x≥b這一段上的函數(shù)的性質(zhì)，可先由a＞0且b≤0證明函數(shù)是增函數(shù)，此是證明充分性，再由函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)解得a＞0且b≤0，此是證明必要性，再由充要條件的定義得出答案即可
解答：解：f（x）=ax|x-b|=，由函數(shù)的解析式知，x=兩段上函數(shù)圖象的對稱軸，
當(dāng)a＞0且b≤0時(shí)，函數(shù)在[b，+∞）是增函數(shù)，故在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)時(shí)，必有a＞0，≤0，即a＞0且b≤0
綜上證明知，a＞0且b≤0是函數(shù)f（x）=ax|x-b|在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)的充要條件
故答案為：a＞0且b≤0
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)充要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是理解充要條件的證明方法及函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則，本題的重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則及求函數(shù)單調(diào)性區(qū)間的方法本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想