Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，連接CE并延長交AD于F
（1）求證：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，從而得到∠FED=∠FEA=，所以EF⊥AD且AF=FD，結(jié)合題意得到FG是△PAD是的中位線，可得FG∥PA，根據(jù)PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證出AD⊥平面CFG；
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB、AD、PA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖直角坐標(biāo)系，得到A、B、C、D、P的坐標(biāo)，從而得到、、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出=（1，-，）和=（1，，2）分別為平面BCP、平面DCP的法向量，利用空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦，即可得到平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．
解答：解：（1）∵在△DAB中，E為BD的中點(diǎn)，EA=EB=AB=1，
∴AE=BD，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=
∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，從而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=
∴∠FED=∠FEA=，可得EF⊥AD，AF=FD
又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位線，可得FG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴FG⊥AD
又∵EF、FG是平面CFG內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面CFG；
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB、AD、PA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖直角坐標(biāo)系，可得
A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）
∴=（，，0），=（-，-，），=（-，，0）
設(shè)平面BCP的法向量=（1，y₁，z₁），則
解得y₁=-，z₁=，可得=（1，-，），
設(shè)平面DCP的法向量=（1，y₂，z₂），則
解得y₂=，z₂=2，可得=（1，，2），
∴cos＜，＞===
因此平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值等于|cos＜，＞|=．
點(diǎn)評：本題在三棱錐中求證線面垂直，并求平面與平面所成角的余弦值．著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了利用空間向量研究平面與平面所成角等知識，屬于中檔題．