已知兩定點F1(-
2
,  0),F2(
2
,  0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
| =2
的點P的軌跡是曲線C,直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點,且|AB| =
2
5
3

(1)求曲線C的方程;
(2)求直線AB的方程;
(3)若曲線C上存在一點D,使
OA
+
OB
=m
OD
,求m的值及點D到直線AB的距離.
分析:(1)通過已知條件,滿足雙曲線的定義,直接求出曲線C的方程;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),利用直線與雙曲線聯(lián)立方程組,通過弦長公式求出直線的斜率,即可求直線AB的方程;
(3)求出A,B,利用
OA
+
OB
=m
OD
,即可求m的值,利用點到直線的距離求解點D到直線AB的距離.
解答:解:(1)由雙曲線的定義可知曲線C是以F1(-
2
,  0),F2(
2
,  0)
為焦點的雙曲線的左半支
c=
2
,  2a=2,a=1
,故b=1,
所以軌跡C的方程是x2-y2=1.(x<0)
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意得方程組
y=kx-2
x2-y2=1
消去y得(1-k2)x2+4kx-5=0
又已知直線與曲線C交于A、B兩點,故有
1-k2≠0
△=(4k)2+20(1-k2)>0
x1+x2=
-4k
1-k2
<0
x1x2=
-5
1-k2
>0

解得-
5
<k<-1

|AB| =
1+k2
|x2-x1| =
1+k2
 • 
(
-4k
1-k2
)
2
+4 • 
5
1-k2

=2
(1+k2)(5-k2)
(1-k2)2
=
2
5
3

(1+k2)(5-k2)
(1-k2)2
=
5
9

整理得,7k4-23k2-20=0
解得 k2=4 或 k2=-
5
7
(舍)
由k2=4,得k=-2,(k=2舍)
于是直線AB的方程為y=-2x-2,即2x+y+2=0.
(3)由
x2-y2=1
2x+y+2=0
,解得
x1=-1
y1=0
   
x2=-
5
3
y2=
4
3

不妨設
OA
=(-1,  0),  
OB
=(-
5
3
,  
4
3
)
,
OA
+
OB
=m
OD
,故有
OD
=(-
8
3m
, 
4
3m
)

將D點坐標代入曲線C的方程,得
64
9m2
-
16
9m2
=1

解得m=±
4
3
3

但當m=-
4
3
3
時,點D在雙曲線右支上,不合題意,
m=
4
3
3

點D的坐標為(-
2
3
3
,  
3
3
)
,
D到線AB的距離為
|-
4
3
3
+
3
3
+2|
5
=
2
5
-
15
5
點評:本題考查雙曲線的定義的應用,弦長公式的應用,點到直線的距離公式,考查設而不求,考查計算能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知兩定點F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|
=2的點P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點.如果
|AB|
=6
3
且曲線E上存在點C,使
OA
+
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知兩定點F1(-
2
,0)
F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2
的點P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點.
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)如果|AB|=6
3
且曲線E上存在點C,使
OA
=
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知兩定點F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
,平面上動點P滿足|PF1|-|PF2|=2.
(Ⅰ)求動點P的軌跡c的方程;
(Ⅱ)過點M(0,1)的直線l與c交于A、B兩點,且
MA
MB
,當
1
3
≤λ≤
1
2
時,求直線l的斜率k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知兩定點F1(-
2
,0)
F2(
2
,0)
,點P是曲線E上任意一點,且滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2

①求曲線E的軌跡方程;
②若直線y=kx-1與曲線E交于不同兩點A,B兩點,求k的范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案