Question

已知兩定點(diǎn)F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，滿足條件|

PF2

|-|

PF1

|=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)．如果

|AB|

=6

3

且曲線E上存在點(diǎn)C，使

OA

+

OB

=m

OC

求m的值和△ABC的面積S．

Answer 1

分析：先判斷曲線E形狀，求出曲線E的方程，直線AB方程代入，利用判別式及根與系數(shù)關(guān)系求出直線AB斜率范圍，利用弦長(zhǎng)公式求出斜率k的值，得到直線AB方程．設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，依據(jù)條件用m表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入曲線E的方程求得m值，點(diǎn)C到直線AB的距離為高，計(jì)算三角形面積．

解答：解：由雙曲線的定義可知，
曲線E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
且c=

2

，a=1，易知b=1
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，
有

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1
又∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

依題意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

整理后得28k⁴-55k²+25=0
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

但-

2

＜k＜-1
∴k=-

5

2

故直線AB的方程為

5

2

x+y+1=0
設(shè)C（x_c，y_c），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c）
∴(mxc，myc)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，（m≠0）
又x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8
∴點(diǎn)C（

-4 5

m

，

8

m

）
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，得

80

m2

-

64

m2

=1
得m=±4，但當(dāng)m=-4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意
∴m=4，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

5

，2)C到AB的距離為

| 5 2 ×(- 5 )+2+1|

( 5 2 )2+12

=

1

3

∴△ABC的面積S=

1

2

×6

3

×

1

3

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問(wèn)題的能力．