Question

（12分）已知函數(shù)，曲線過點(diǎn)P（－1，2），且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直。
①求a，b的值；
②求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。
③若函數(shù)在上是增函數(shù)，求m的取值范圍.

Answer 1

解：①  a=1，b=3②函數(shù)的遞增區(qū)間是（-∞，-2）和（0，+∞），遞減區(qū)間是（-2,0），
極大值是f（-2）=4，極小值是f（0）=0.③ m≤-3，或m≥0.

解析試題分析：（1）將M的坐標(biāo)代入f（x）的解析式，得到關(guān)于a，b的一個(gè)等式；求出導(dǎo)函數(shù)，求出f′（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為-1，列出關(guān)于a，b的另一個(gè)等式，解方程組，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
（3）在上一問的基礎(chǔ)上，據(jù)題意知[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝），列出端點(diǎn)的大小，求出m的范圍．
解：① 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a9/6/onvoi1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
   根據(jù)題意得   -a+b=2    ，得 a=1，b=3
3a-2b=-3
② ，
當(dāng)＞0時(shí)，解得  x＜-2，或x＞0；
當(dāng)＜0時(shí)，解得   -2＜x＜0.
因此，該函數(shù)的遞增區(qū)間是（-∞，-2）和（0，+∞），遞減區(qū)間是（-2,0），
極大值是f（-2）=4，極小值是f（0）=0.
③ 根據(jù)題意m+1≤-2，或m≥0，解得m≤-3，或m≥0.
考點(diǎn)：本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題注意函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率；直線垂直的充要條件是斜率之積為-1。