Question

如圖，在梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，AD=CD=

1

2

AB=a，平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是矩形，AE=a，點(diǎn)M在線段EF上．
（1）求證：AM⊥BC；
（2）若

EM

=

1

3

EF

，求二面角B-AM-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明AE⊥平面ABCD、BC⊥平面ACFE，即可證明AM⊥BC；
（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)點(diǎn)D平行與EA的直線為z軸，求出平面DAM的法向量、平面ABM的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-AM-D的余弦值．

解答： （1）證明：在梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，AD=CD=

1

2

AB=a，
得AC=BC=

2

a，BC⊥AC，
又四邊形ACFE是矩形，則EA⊥AC，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴AE⊥平面ABCD，
∵平面BC?平面ABCD，
∴AE⊥BC，
∴BC⊥平面ACFE，
∴AM⊥BC；
（2）解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)點(diǎn)D平行與EA的直線為z軸，則
D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，2a，0），M（

2

3

a，

1

3

a，a），
設(shè)平面DAM的法向量為

m

=（x，y，z），則
∵

AD

=（-a，0，0），

DM

=（

2

3

a，

1

3

a，a），
∴

-ax=0 2 3 ax+ 1 3 ay+az=0

，∴

m

=（0，-3，1）；
同理可得平面ABM的法向量為

n

=（3，0，1），
則二面角B-AM-D的余弦值為-

1

10 • 10

=-

1

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確運(yùn)用線面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．