Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xex+ax2+2x+1在x=﹣1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ex+xex+2ax+2，

∵f（x）在x=1處取得極值，

∴f'（﹣1）=0，解得a=1．經(jīng)檢驗(yàn)a=1適合，

∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），

當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）遞減；

當(dāng)x∈（﹣1+∞）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）遞增

（2）解：函數(shù)y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

等價(jià)于xex+x2+2x﹣m=0在[﹣2，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，

等價(jià)于xex+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根．

令g（x）=xex+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），

由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）遞減；在（﹣1，+∞）遞增．

g（x）在[﹣2，2]上的極小值也是最小值；

．

又 ，g（2）=8+2e2＞g（﹣2），

∴ ，即

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，求出a，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問(wèn)題等價(jià)于xex+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根．令g（x）=xex+x2+2x，求出函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．