Question

10．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過點F的直線且交拋物線C于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則|AB|=（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由題意，過拋物線焦點的直線L斜率存在且不等于0，由點斜式設出L的直線方程，與拋物線方程組成方程組，消去未知數(shù)y，得關于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關系和線段AB中點的橫坐標，得k的值，再由線段長度公式求出|AB|的大�。�

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），
設過F點的直線L為：y=k（x-1），且k≠0；
∴由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$得：
k²（x-1）²=4x，
即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由根與系數(shù)的關系，得：
x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=4，x₁x₂=1；
∴k²=2，
∴線段AB的長為：
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|
=$\sqrt{3}$$\sqrt{（{x}_{1}{+x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{3}$×$\sqrt{{4}^{2}-4}$=6．
故選：B．

點評 本題是直線被圓錐曲線所截，求弦長問題，線段中點坐標通常和根與系數(shù)的關系相聯(lián)系，從而簡化解題過程．