已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）滿足條件：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥2x；且當(dāng)0＜x＜2時(shí)，總有f(x)≤
1
2
(x+1)2成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（-1）的取值范圍．
（1）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥2x，
∴f（1）≥2．
∵當(dāng)0＜x＜2時(shí)，總有f(x)≤
1
2
(x+1)2成立，
∴f（1）≤
1
2
(1+1)2=2，
∴f（1）=2．（3分）
（2）∵f（1）=a+b+c=2，
對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥2x，
即ax2+（b-2）x+c≥0恒成立，
∴
a＞0
(b-2)2-4ac≤0
，
∴b-2=-（a+c），
∴[-（a+c）]2-4ac≤0，
即（a-c）2≤0，
∴a=c＞0，b=2-2a．（5分）
∵f(x)≤
1
2
(x+1)2，
∴2f（x）≤（x+1）2，
即2[ax2+（2-2a）x+a]≤（x+1）2，
整理得 （2a-1）x2+（2-4a）x+2a-1≤0，
即（2a-1）（x-1）2≤0，
∵當(dāng)0＜x＜2時(shí)，它恒成立，
∴0＜a≤
1
2
．
∴f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范圍是（-2，0]．（10分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問(wèn)：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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