已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)滿(mǎn)足條件:對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥2x;且當(dāng)0<x<2時(shí),總有f(x)≤
1
2
(x+1)2
成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求f(-1)的取值范圍.
(1)∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥2x,
∴f(1)≥2.
∵當(dāng)0<x<2時(shí),總有f(x)≤
1
2
(x+1)2
成立,
∴f(1)≤
1
2
(1+1)2=2
,
∴f(1)=2.(3分)
(2)∵f(1)=a+b+c=2,
對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥2x,
即ax2+(b-2)x+c≥0恒成立,
a>0
(b-2)2-4ac≤0
,
∴b-2=-(a+c),
∴[-(a+c)]2-4ac≤0,
即(a-c)2≤0,
∴a=c>0,b=2-2a.(5分)
f(x)≤
1
2
(x+1)2
,
∴2f(x)≤(x+1)2,
即2[ax2+(2-2a)x+a]≤(x+1)2,
整理得 (2a-1)x2+(2-4a)x+2a-1≤0,
即(2a-1)(x-1)2≤0,
∵當(dāng)0<x<2時(shí),它恒成立,
∴0<a≤
1
2

∴f(-1)=a-b+c=4a-2的取值范圍是(-2,0].(10分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且滿(mǎn)足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問(wèn):是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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