已知a，b為不相等實(shí)數(shù)，設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），命題：“?x1，x2∈（a，b），λ＞0，且x1＜x2，都有f(
x1+λx2
1+λ
)＞
f(x1)+λf(x2)
1+λ
”為真，那么下列4個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)必有極大值；
②f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)增；
③必定存在唯一的x0∈（a，b），使得f′（x0）=
f(a)-f(b)
a-b
；
④導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減．
分析：根據(jù)題意判定函數(shù)是凸函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象后，利用數(shù)形結(jié)合逐一判定四個(gè)結(jié)論的真假，即可得到答案．
解答：解：∵?x1，x2∈（a，b），λ＞0，
∴P1（x1y1），P2（x2，y2） 的定比分點(diǎn)P（
x1+λx2
1+λ
，
f(x1)+λf(x2)
1+λ
）
∵f（
x1+λx2
1+λ
）＞
f(x1)+λf(x2)
1+λ
，
∴函數(shù)為凸函數(shù)，故③正確；

故f′（x）在區(qū)間（a，b）上遞減，故④正確；
但f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的單調(diào)性無法判斷，
故①②錯(cuò)誤
故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的凸凹性和單調(diào)性，其中分析出函數(shù)的凸凹性是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

17、已知集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=φ，方程x2+px+q=0的兩個(gè)不相等實(shí)根為α，β，求p，q的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、已知方程x2+px+q=0的兩個(gè)不相等實(shí)根為α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=φ，求p，q的值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx，（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]與[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•湖北模擬）已知函數(shù)F(x)=-
1
4
x4+ax3+
a2+5a-2
2
x2+b．（a，b為常數(shù)）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，F(xiàn)（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若F（x）有三個(gè)不同的極值點(diǎn)0，x1，x2．a(chǎn)為何值時(shí)，能使函數(shù)F（x）在x1（或者x2）處取得的極值為b？
（Ⅲ）若對(duì)任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知方程的兩個(gè)不相等實(shí)根為．集合，

{2，4，5，6}，{1，2，3，4}，A∩C＝A，A∩B＝，求的值？

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