Question

設(shè)函數(shù)對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)， 
（1）求證：是奇函數(shù);
（2）試問(wèn)：在時(shí) ，是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.
（3）解關(guān)于x的不等式

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）函數(shù)最大值為；（3）①，則解為；②，則解為；③，則無(wú)解.

解析試題分析：（1）要證明為奇函數(shù)，需要證明.如何利用所給條件變出這樣一個(gè)等式來(lái)？
為了產(chǎn)生，令，則.這時(shí)的等于0嗎？如何求？再設(shè)可得，從而問(wèn)題得證.
（2）一個(gè)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必最大值的最小值.為了求函數(shù)的最值，就需要研究函數(shù)的單調(diào)性.研究單調(diào)性，第一，根據(jù)定義，第二利用導(dǎo)數(shù).抽象函數(shù)研究單調(diào)性只能用定義.任取，則，根據(jù)條件可得：即
所以為減函數(shù)，那么函數(shù)在上的最大值為.
（3）有關(guān)抽象函數(shù)的不等式，都是利用單調(diào)性去掉.首先要將不等式化為，注意必須是左右各一項(xiàng).在本題中，由題設(shè)可得，在R上為減函數(shù)
，即.下面就解這個(gè)不等式.這個(gè)不等式中含有參數(shù)，故需要分情況討論.
試題解析：（1）設(shè)可得，設(shè)，則
所以為奇函數(shù).
（2）任取，則，又
所以
所以為減函數(shù)。
那么函數(shù)最大值為，，
所以函數(shù)最大值為.
（3）由題設(shè)可知
即
可化為
即，在R上為減函數(shù)
，即，
①，則解為
②，則解為
③，則無(wú)解
考點(diǎn)：1、抽象函數(shù)；2、函數(shù)的性質(zhì)；3、解不等式.