Question

19．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若bc=2$\sqrt{3}$，三角形面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且A為鈍角．
（1）若b+c=2+$\sqrt{3}$，求角A，a；
（2）若f（B）=sinBsinC，求f（B）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面積公式即可求出A．若b+c=2+$\sqrt{3}$，利用余弦定理即可求a；
（2）求出B+C=$\frac{π}{6}$，用C表示B，利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡即可求f（B）的值域．

解答 解：（1）∵bc=2$\sqrt{3}$，三角形面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即sinA=$\frac{1}{2}$
∵A為鈍角，
∴A=$\frac{5π}{6}$．
若b+c=2+$\sqrt{3}$，
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{5π}{6}$=（2+$\sqrt{3}$）²-4$\sqrt{3}$-2×$2\sqrt{3}$×（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$）=7+4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$+6=13，
則a=$\sqrt{13}$；
（2）∵A=$\frac{5π}{6}$．
∴B+C=$\frac{π}{6}$，則C=$\frac{π}{6}$-B，0＜B＜$\frac{π}{6}$，
∵f（B）=sinBsinCsinBsin（$\frac{π}{6}$-B）=sinB（$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）=$\frac{1}{2}$sinBcosB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²B=$\frac{1}{4}$sin2B-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1-cos2B}{2}$
=$\frac{1}{4}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinB-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∵0＜B＜$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜0，
則sin（-$\frac{π}{6}$）＜sin（B-$\frac{π}{6}$）＜0，
即$-\frac{1}{2}$＜sin（B-$\frac{π}{6}$）＜0，
則-$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$sin（B-$\frac{π}{6}$）＜0，
則-$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜$\frac{1}{2}$sin（B-$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
即f（B）的值域?yàn)椋?$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，利用兩角和差的正弦公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．