Question

11．給出下列命題：
①對于常數(shù)m、n，“mn＞0”是“方程mx²+ny²=1的曲線是橢圓”的充分必要條件
②若集合A={-1，1}，B={0，2}，則集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的個數(shù)為3；
③函數(shù)$f（x）=lg{\frac{{{x^2}+1}}{|x|}^{\;}}$（x≠0，x∈R）的最小值為lg2；
④若命題“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是（2，6）．
其中真命題的序號是②③（請寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 ①舉例說明該命題不成立即可；
②用列舉法表示出集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}即可；
③根據(jù)函數(shù)$f（x）=lg{\frac{{{x^2}+1}}{|x|}^{\;}}$是定義域上的偶函數(shù)，求出它的最小值即可；
④根據(jù)命題與它的否定命題一假一真，求出實數(shù)m的取值范圍即可．

解答 解：對于①，當(dāng)m=-1、n=-1時，滿足mn＞0，方程-x²-y²=1不表示任何圖形，∴①錯誤；
對于②，當(dāng)集合A={-1，1}，B={0，2}時，集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={-1，1，3}，
其元素個數(shù)為3，∴②正確；
對于③，函數(shù)$f（x）=lg{\frac{{{x^2}+1}}{|x|}^{\;}}$=lg（|x|+$\frac{1}{|x|}$）（x≠0，x∈R）是偶函數(shù)，且最小值為lg2，∴③正確；
④命題“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”為假命題，
則“?x∈R，x²+mx+2m-3≥0”為真命題，
∴△=m²-4（2m-3）≥0，
解得m≤2或m≥6，
∴實數(shù)m的取值范圍是m≤2，m≥6，④錯誤；
綜上，其中真命題的序號②③．
故答案為：②③．

點評 本題考查了簡易邏輯的應(yīng)用問題，也考查了集合的應(yīng)用問題，考查了函數(shù)的奇偶性與最值問題，
是基礎(chǔ)題目．