Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

m（x-1）²-2x+3+lnx，m∈R．
（1）當(dāng)m=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)m＞0時，若曲線y=f（x）在點P（1，1）處的切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求實數(shù)m的值．

Answer 1

（1）當(dāng)m=0時，函數(shù)f（x）=-2x+3+lnx
由題意知x＞0，f′（x）=-2+

1

x

=

-2x+1

x

，令f′（x）＞0，得0＜x＜

1

2

時，
所以f（x）的增區(qū)間為（0，

1

2

）．
（2）由f′（x）=mx-m-2+

1

x

，得f′（1）=-1，
知曲線y=f（x）在點P（1，1）處的切線l的方程為y=-x+2，
于是方程：-x+2=f（x）即方程

1

2

m（x-1）²-x+1+lnx=0有且只有一個實數(shù)根；
設(shè)g（x）=

1

2

m（x-1）²-x+1+lnx，（x＞0）．
則g′（x）=

mx2-(m+1)x+1

x

=

(x-1)(mx-1)

x

，
①當(dāng)m=1時，g′（x）=

(x-1)(x-1)

x

≥0，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且g（1）=0，故m=1符合題設(shè)；
②當(dāng)m＞1時，由g′（x）＞0得0＜x＜

1

m

或x＞1，
由g′（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＜0得

1

m

＜x＜1，
故g（x）在區(qū)間（0，

1

m

），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（ 1，

1

m

）區(qū)間單調(diào)遞減，
又g（1）=0，且當(dāng)x→0時，g（x）→-∞，此時曲線y=g（x）與x軸有兩個交點，故m＞1不合題意；
③當(dāng)0＜m＜1時，由g′（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＞0得0＜x＜1或x＞

1

m

，
由g′（x）=＜0得1＜x＜

1

m

，
故g（x）在區(qū)間（0，1），（1，

1

m

）上單調(diào)遞增，在（

1

m

，+∞）區(qū)間單調(diào)遞減，
又g（1）=0，且當(dāng)x→0時，g（x）→+∞，此時曲線y=g（x）與x軸有兩個交點，故0＜m＜1不合題意；
∴由上述知：m=1．