Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

3

2

，兩焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線交橢圓C于M，N兩點，且△F₂MN的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求過點（1，0）且斜率為

1

2

的線l被C所截線段的中點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（ I）由△F₂MN的周長求出a的值，再根據(jù)離心率求出c以及b的值即可；
（ II）求出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂的值，即得線段AB的中點的橫坐標(biāo)，再求出縱坐標(biāo)即可．

解答： 解：（ I）∵△F₂MN的周長為8，即|MN|+|MF₂|+|NF₂|=4a=8，
∴a=2；------（2分）
又∵e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

2

a=

3

；…4分
∴b²=a²-c²=1；…5分
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；------（6分）
（ II）∵過點（1，0）且斜率為

1

2

的直線l的方程為
y=

1

2

(x-1)，-------（7分）
∴直線方程與橢圓方程

y= 1 2 (x-1) x2 4 +y2=1

聯(lián)立，
消去y得，2x²-2x-3=0；-------（9分）
設(shè)l與C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
則 x₁+x₂=1；------（10分）
∴線段AB的中點為P(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，即

x1+x2

2

=

1

2

；------（11分）
又∵P在直線l上，∴

y1+y2

2

=

1

2

×（

1

2

-1）=-

1

4

；
∴P點的坐標(biāo)為(

1

2

，-

1

4

)．-------（12分）

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，考查了弦長中點的應(yīng)用問題，解題時通常用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點坐標(biāo)，是中檔題．