Question

直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=3的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程3x²-y²=3后，由題意知

3-k2≠0 4k2+16(3-k2)＞0 2k 3-k2 ＞0 -4 3-k2 ＞0

，由此可知實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由題意：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0，由此入手可求出k的值．

解答： 解：（Ⅰ）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程3x²-y²=3，
整理得（3-k²）x²-2kx-4=0．
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵（x₁，y₁），（x₂，y₂）都在雙曲線C的右支，
x₁＞0，x₂＞0，
∴

3-k2≠0 4k2+16(3-k2)＞0 2k 3-k2 ＞0 -4 3-k2 ＞0

解得k的取值范圍是-2＜k＜-

3

．
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0）．
則由FA⊥FB得：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0．
即（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
整理得（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0．
化簡得7k²+4k-11=0．
解得k=1或k=-

11

7

∵-2＜k＜-

3

，∴k=-

11

7

，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查直線、雙曲線的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，及其綜合應(yīng)用能力．