Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和為4，設(shè)點P的軌跡為C，直線l：y=kx+1與C交于A、B兩點，
（1）寫出C的方程；
（2）若以AB為直徑的圓過原點O，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點，長半軸為2的橢圓．由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，由此利用韋達(dá)定理、向量垂直結(jié)合已知條件能求出k=±

1

2

．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，
點P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，
故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1． …（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐標(biāo)滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，…（7分）
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

． …（8分）
因為

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化簡得-4k²+1=0，
所以k=±

1

2

．
所以直線方程為y=±

1

2

x+1．…（12分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．