Question

7．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線交直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好過(guò)焦點(diǎn)F（c，0），則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x和右準(zhǔn)線方程，得到右準(zhǔn)線交兩漸近線于A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），從而AB=$\frac{2ab}{c}$，再根據(jù)以AB為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F，得到焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于AB的一半，建立關(guān)于a、b、c的等式，化簡(jiǎn)整理可得a=b，最后根據(jù)離心率的計(jì)算公式，可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴雙曲線的兩漸近線為y=±$\frac{a}$x，
因此，可得右準(zhǔn)線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交兩漸近線于A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
設(shè)右準(zhǔn)線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交x軸于點(diǎn)G（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）
∵以AB為直徑的圓過(guò)F，
∴AB=2GF，即$\frac{2ab}{c}$=2（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$），化簡(jiǎn)得a=b，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出雙曲線的右準(zhǔn)線與兩漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本概念與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．