Question

1．學(xué)校重視高三學(xué)生對數(shù)學(xué)選修課程的學(xué)習(xí)，在選修系列4中開設(shè)了4-1，4-2，4-3，4-4，4-5共5個專題課程，要求每個學(xué)生必須且只能選修其中1門課程，設(shè)A、B、C、D是高三某班的4名學(xué)生．
（1）求恰有2個專題沒有被這4名學(xué)生選擇的概率；
（2）設(shè)這4名學(xué)生中選擇4-4專題的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）每個學(xué)生必須且只需選修1門專題課程，每一人都有種選擇，總共有5⁴，恰有2門專題課程沒有被這3名學(xué)生選擇的概率，則有C₅²C₄²A₃³，從而求解；
（2）某一專題課程被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3，4，分別算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．

解答 解：（1）根據(jù)每個學(xué)生必須且只需選修1門專題課程，每一人都有種選擇，總共有5⁴，恰有2門專題課程沒有被這3名學(xué)生選擇的概率，則有C₅²C₄²A₃³，
∴恰有2門專題課程這4名學(xué)生都沒選擇的概率：P₂=$\frac{360}{625}$=$\frac{72}{125}$
（2）設(shè)A專題課程被這4名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=$\frac{{4}^{4}}{{5}^{4}}$=$\frac{256}{625}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{4}^{3}}{{5}^{4}}$=$\frac{256}{625}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}•{4}^{2}}{{5}^{4}}$=$\frac{96}{625}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}•4}{{5}^{4}}$=$\frac{16}{625}$，P（ξ=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{5}^{4}}$=$\frac{1}{625}$
分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

∴Eξ=0×$\frac{256}{625}$+1×$\frac{256}{625}$+2×$\frac{96}{625}$+3×$\frac{16}{625}$+4×$\frac{1}{625}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．