Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD，E為棱PC的中點(diǎn)．
（1）PA∥平面BDE；
（2）證明：PA⊥BD．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE∥AP，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據(jù)PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證PA⊥BD；

解答 解：（1）證明：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴O是AC中點(diǎn)，
∵E是PC中點(diǎn)，∴OE∥AP，
又AP?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）證明：因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD，
從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．

點(diǎn)評 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，以及點(diǎn)到面的距離，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力，屬于中檔題．