Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）+cos（2x-

π

6

）．
（Ⅰ）求f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先利用函數(shù)關系式的恒等變換求出函數(shù)的正弦形式，進一步利用整體思想求出函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用上步求出的函數(shù)關系式進一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進一步求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）+cos（2x-

π

6

）
=2(sin2x•

1

2

+cos2x•

3

2

)+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x
=

3

2

(sin2x+

3

cos2x)
=3sin（2x+

π

3

），
所以函數(shù)的最小正周期為：T=

2π

2

=π．
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤kπ+

π

12

，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[-

5π

12

+kπ，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函數(shù)的解析式為：f（x）=3sin（2x+

π

3

），
由于：-

π

4

≤x≤

π

4

，
所以：-

π

6

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，
則：-

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
解得：-

3

2

≤f(x)≤3．
所以函數(shù)f（x）的值域為：[-

3

2

，3]，
則f（x）_max=3，f(x)min=-

3

2

．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期公式的應用，利用整體思想求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，和函數(shù)的最值．