Question

17．已知二次函數(shù)f（x）=x²+4x，三次函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1．
（1）是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過四個(gè)象限？若存在，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）記h（x）=f（x）+g（x），且h（x）的圖象在（0，h（0））處的切線平行于直線y=x+2，設(shè)函數(shù)m（x）=$\frac{4}{3}$x³-$\frac{9}{2}{x}^{2}$+7x+c-2，若函數(shù)h（x）的圖象與m（x）的圖象恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值異號(hào)，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）根據(jù)h（x）的圖象在（0，h（0））處的切線平行于直線y=x+2，求出b值，并構(gòu)造函數(shù)F（x）=m（x）-h（x），若函數(shù)h（x）的圖象與m（x）的圖象恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，則F（x）的兩個(gè)極值異號(hào)，解得實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答 解：（1）∵三次函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1．
∴g′（x）=bx²-2bx-3b．
令g′（x）=0，則x=-1，或x=3，
若存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，
則g（-1）•g（3）＜0，即（$\frac{5}{3}b+1$）（-9b+1）＜0，
解得：b∈（-∞，$-\frac{3}{5}$）∪（$\frac{1}{9}$，+∞）
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{3}$bx³+（1-b）x²+（4-3b）x+1．
∴h′（x）=bx²+（2-2b）x+4-3b．
∵h(yuǎn)（x）的圖象在（0，h（0））處的切線平行于直線y=x+2，
∴h′（0）=4-3b=1，
解得：b=1，
此時(shí)h（x）=$\frac{1}{3}$x³+x+1．
∵函數(shù)h（x）的圖象與m（x）的圖象恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，
∴F（x）=m（x）-h（x）=（$\frac{4}{3}$x³-$\frac{9}{2}{x}^{2}$+7x+c-2）-（$\frac{1}{3}$x³+x+1）=x³-$\frac{9}{2}{x}^{2}$+6x+c-3的兩個(gè)極值異號(hào)，
∵F′（x）=3x²-9x+6=0時(shí)，x=1或x=2，
∴F（1）•F（2）=（c-$\frac{1}{2}$）（c-1）＜0，
解得：c∈（$\frac{1}{2}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．