Question

定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個(gè)“λ-函數(shù)”． 有下列關(guān)于“λ-函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ-函數(shù)”；
②“

1

2

-函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；
③f（x）=x²是一個(gè)“λ-函數(shù)”；
④f（x）=e^x是一個(gè)“λ-函數(shù)”．
其中正確結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”，對(duì)①②③④逐個(gè)判斷即可得到答案．

解答： 解：①、設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ-同伴函數(shù)”，故①錯(cuò)誤
②、令x=0，得f（

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2

）+

1

2

f（0）=0．所以f（

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2

）=-

1

2

f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0，
又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，

1

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）上必有實(shí)數(shù)根，
因此任意的“-

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2

同伴函數(shù)”必有根，即任意“-

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2

同伴函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．故④正確．
③、假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”．故③錯(cuò)誤
④、假設(shè)f（x）=e^x是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”，則e^x+λ+λe^x=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，則有e^λ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=e^x是“λ-伴隨函數(shù)”，故④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解f（x）是λ-同伴函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵