Question

如圖所示，質點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進．現(xiàn)在投擲一個質地均勻、每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字．質點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質點P前進一步（如由A到B）；當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質點P前進兩步（如由A到C）；當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質點P前進三步（如由A到D）．在質點P轉一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．
求：
（Ⅰ）需要四次投擲，點P恰返回到A點的概率；
（Ⅱ）點P恰好返回到A點的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）投擲一次正方體玩具，上底面每個數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，
其概率為
若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應依次為：（1，1，1，1）
其概率為
（Ⅱ）因為只投擲一次不可能返回到A點；
若投擲兩次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應依次為：
（1，3）、（3，1）、（2，2）三種結果，其概率為
若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應依次為：
（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三種結果，其概率為
若投擲四次點P恰能返回到A點，其概率為
所以，點P恰好返回到A點的概率為
分析：因正方體玩具是均勻的，所以該事件為等可能事件．
（Ⅰ）需要四次投擲，點P恰返回到A點，說明每一次正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1．
（Ⅱ）求點P恰好返回到A點的概率，首先我們要對回到A點的情況分類討論，由于回到原點最少需要兩次投擲，最多需要四次投擲，故我們可以分兩次、三次、四次，四種情況進行討論，計算出每種情況性質的概率，相加即得結果．
點評：解決等可能性事件的概率問題，關鍵是要弄清一次試驗的意義以及每個基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個事件的相互關系是解決問題的關鍵．古典概型要求所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，強調所有結果中每一結果出現(xiàn)的概率都相同．