Question

如圖所示，質(zhì)點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進．現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻．每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1．兩個2．兩個3一共六個數(shù)字．質(zhì)點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點P前進一步（如由A到B）；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點P前進兩步（如由A到C），當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點P前進三步（如由A到D）．在質(zhì)點P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．
（1）求點P恰好返回到A點的概率；
（2）在點P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點的所有結(jié)果中，用隨機變量S表示點P恰能返回到A點的投擲次數(shù)，求S的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）求點P恰好返回到A點的概率，首先我們要對回到A點的情況分類討論，由于回到原點最少需要兩次投擲，最多需要四次投擲，故我們可以分兩次、三次、四次，四種情況進行討論，計算出每種情況性質(zhì)的概率，相加即得結(jié)果．
（2）由（1）的結(jié)論我們不難得到ξ的值分別等2，3，4時的概率，然后我們代入數(shù)學(xué)期望公式即可求解．

解答：解：（Ⅰ）投擲一次正方體玩具，上底面每個數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為P1=

2

6

=

1

3

因為只投擲一次不可能返回到A點；
若投擲兩次點P就恰能返回到A點，
則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應(yīng)依次為：
（1，3）．（3，1）．（2，2）三種結(jié)果，
其概率為P2=(

1

3

)2•3=

1

3

若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應(yīng)依次為：
（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三種結(jié)果，其概率為P3=(

1

3

)3•3=

1

9

若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，1，1）
其概率為P4=(

1

3

)4=

1

81

所以，點P恰好返回到A點的概率為P=P₂+P₃+P₄=

1

3

+

1

9

+

1

81

=

37

81

（Ⅱ）在點P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點的所有結(jié)果共有以上問題中的7種，
因為，P（ξ=2）=

3

7

，P（ξ=3）=

3

7

，P（ξ=4）=

1

7

所以，Eξ=2•

3

7

+3•

3

7

+4•

1

7

=

19

7

點評：解決等可能性事件的概率問題，關(guān)鍵是要弄清一次試驗的意義以及每個基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個事件的相互關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．古典概型要求所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，強調(diào)所有結(jié)果中每一結(jié)果出現(xiàn)的概率都相同．同時（2）中概率、數(shù)學(xué)期望的計算也是高考的熱點．對于數(shù)學(xué)期望的計算則要熟練掌握運算方法和步驟．