Question

已知函數(shù)y=log_a（ax-

x

）（a＞0，a≠1為常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若a=3，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f（x0的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）使函數(shù)f（x）解析式有意義，即可求出函數(shù)f（x）的定義域；
（2）設(shè)x1＞x2＞

1

9

，判斷出3x1-

x1

＞3x2-

x2

，從而得出f（x₁）＞f（x₂），根據(jù)單調(diào)性的定義即得函數(shù)f（x）在（

1

9

，+∞）上為增函數(shù)；
（3）設(shè)x1＞x2＞

1

a2

，通過作差比較出ax1-

x1

＞ax2-

x2

，根據(jù)函數(shù)f（x）是增函數(shù)得到loga(ax1-

x1

)＞loga(ax2-

x2

)，所以a＞1．

解答： 解：（1）使函數(shù)y=loga(ax-

x

)有意義，則：

x≥0 ax- x ＞0

，解得x＞

1

a2

；
∴函數(shù)f（x）的定義域是(

1

a2

，+∞)；
（2）y=log3(3x-

x

)，x＞

1

9

，設(shè)x1＞x2＞

1

9

則：
3x₁-

x1

-3x₂+

x2

=3(x1-x2)-(

x1

-

x2

)=(

x1

-

x2

)[3(

x1

+

x2

)-1]；
∵x1＞x2＞

1

9

；
∴

x1

-

x2

＞0，

x1

+

x2

＞

2

3

，3(

x1

+

x2

)-1＞0；
∴3x1-

x1

＞3x2-

x2

，log3(3x1-

x1

)＞log3(3x2-

x2

)，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在（

1

9

，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）設(shè)x1＞x2＞

1

a2

，則：
ax1-

x1

-ax2+

x2

=a(x1-x2)-(

x1

-

x2

)=(

x1

-

x2

)[a(

x1

+

x2

)-1]；
∵x1＞x2＞

1

a2

，∴

x1

-

x2

＞0，

x1

+

x2

＞

2

a

，a(

x1

+

x2

)-1＞0；
∴ax1-

x1

＞ax2-

x2

   ①，∵函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
∴f（x₁）＞f（x₂），即loga(ax1-

x1

)＞loga(ax2-

x2

)   ②；
由①②得：a＞1；
∴a的取值范圍為：（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的定義域，單調(diào)性的定義，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．