Question

已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），離心率e=

5

3

，P為橢圓上一點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若PF₁⊥PF₂，求S_△PF1F2．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，利用橢圓的定義得到2a，再利用橢圓的離心率公式列出關(guān)于a，c的方程，求出c，利用橢圓中的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出b，寫出橢圓的方程．
（2）利用直角三角形的勾股定理及橢圓的定義得到關(guān)于|PF₁|，|PF₂|的方程，求出|PF₁|•|PF₂|的值，利用直角三角形的面積公式求出△PF₁F₂的面積．

解答：解：（1）由題知：c=5，e=

c

a

=

5

3

，得a=3

5

，所以b²=a²-c²=20
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x 2

45

+

y2

20

=1------------（5分）
（2）由|PF₁|+|PF₂|=2a=6

5

，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，可得：
|PF₁|•|PF₂|=40，所以，S_△PF1F2．=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=20------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法，主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．