Question

已知三棱錐P-ABC中，E．F分別是AC．AB的中點(diǎn)，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
（1）證明EF∥平面PBC．
（2）證明PC⊥平面PAB；
（3）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；
（說(shuō)明：文科班只做（1），（2）理科班做（1）、（2）、（3））

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明線線平行，從而可得EF∥平面PBC；
（2）連接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F(xiàn)為AC、AB的中點(diǎn)，可得PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，可得PA⊥PC，由已知易證AB⊥面PCF，從而可得AB⊥PC，利用線面垂直的判定定理可證；
（3）由AB⊥PF，AB⊥CF可得∠PFC為所求的二面角，Rt△PEF中，求解即可．

解答：（1）證明：∵E，F(xiàn)是AC，AB的中點(diǎn)，∴EF∥BC，
∵BC?平面PBC，EF?平面PBC
∴EF∥平面PBC；
（2）證明：連結(jié)CF．
∵PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，
∴AP⊥PC．
∵CF⊥AB，PF⊥AB，
∴AB⊥平面PCF．
∵PC?平面PCF，
∴PC⊥AB，
∴PC⊥平面PAB；
（3）解：∵AB⊥PF，AB⊥CF，
∴∠PFC為所求二面角的平面角．
設(shè)AB=a，則AB=a，則PF=EF=

a

2

，CF=

3

2

a
∴cos∠PFC=

a 2

3 2 a

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面垂直的關(guān)系、線面平行、二面角的度量，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．