Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n+a_n=-n（n∈N^*）恒成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=ln（a_n+1），求{a_nb_n}的前n項和；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得{a_n+1}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）確定數(shù)列的通項，利用錯位相減法求和；
（3）確定通項，利用裂項法求和，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：∵S_n+a_n=-n①
∴n≥2時，S_n-1+a_n-1=-n+1②
①-②可得2a_n=a_n-1-1
∴2（a_n+1）=a_n-1+1
又a₁=-，∴{a_n+1}是以為首項，為公比的等比數(shù)列
∴a_n+1=，∴a_n=-1；
（2）解：b_n=ln（a_n+1）=nln，∴a_nb_n=[-1]•nln，
∴{a_nb_n}的前n項和為ln[+2•+…+n•]-•ln
令T_n=ln[+2•+…+n•]，則T_n=ln[+2•+…+（n-1）•+n•]，
兩式相減，可得T_n=ln（2--）
∴{a_nb_n}的前n項和為ln（2--）-•ln；
（3）證明：由（1）知，=-2（-）
∴=-2（++…+-）
=-2（）＜2
∴．
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，正確運用數(shù)列的求和方法是關(guān)鍵．