Question

4．已知雙曲線Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），直線l：x+y-2=0，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為雙曲線Γ的兩個(gè)焦點(diǎn)，l與雙曲線Γ的一條漸近線平行且過(guò)其中一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線Γ的方程；
（2）設(shè)Γ與l的交點(diǎn)為P，求∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）依題意，雙曲線的漸近線方程為y=±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），即可求雙曲線Γ的方程；
（2）設(shè)Γ與l的交點(diǎn)為P，求出P的坐標(biāo)，利用夾角公式，即可求∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程．

解答 解：（1）依題意，雙曲線的漸近線方程為y=±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴雙曲線方程為x²-y²=2；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-{y^2}=2\\ x+y-2=0\end{array}\right.⇒P（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，顯然∠F₁PF₂的角平分線所在直線斜率k存在，且k＞0，${k_{P{F_1}}}=\frac{1}{7}$，${k_{P{F_2}}}=-1$，于是$|\frac{{{k_{P{F_1}}}-k}}{{1+{k_{P{F_1}}}k}}|=|\frac{{{k_{P{F_2}}}-k}}{{1+{k_{P{F_2}}}k}}|⇒k=3$．∴$y-\frac{1}{2}=3（x-\frac{3}{2}）⇒3x-y-4=0$為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線的夾角公式的運(yùn)用，屬于中檔題．