Question

14．已知橢圓C₁，C₂均為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，離心率均為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），C₂的左右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若直線l與C₁，C₂相交于A，B，C，D四點(diǎn)，如圖所示，試判斷|AC|和|BD|的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C₁的焦距為2c₁，長(zhǎng)軸為2a₁，短軸為2b₁，設(shè)橢圓C₂的焦距為2c₂，長(zhǎng)軸為2a₂，短軸為2b₂，
利用已知條件，求出兩個(gè)橢圓的幾何量，得到橢圓的方程．
（Ⅱ）|AC|=|BD|，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然有|AC|=|BD|．②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)B坐標(biāo)為（x₂，y₂），點(diǎn)C坐標(biāo)為（x₃，y₃），點(diǎn)D坐標(biāo)為（x₄，y₄），聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達(dá)定理線段的中點(diǎn)是否相同．證明即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C₁的焦距為2c₁，長(zhǎng)軸為2a₁，短軸為2b₁，設(shè)橢圓C₂的焦距為2c₂，長(zhǎng)軸為2a₂，短軸為2b₂，
依題意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c_1}{a_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{c_1}=1\\{a_1}^2={b_1}^2+{c_1}^2\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}\frac{c_2}{a_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a_2}=2\\{a_2}^2={b_2}^2+{c_2}^2\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=\sqrt{2}\\{b_1}=1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\{b_2}=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
所以橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
所以橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…．（4分）
（Ⅱ）|AC|=|BD|．…．（5分）
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然有|AC|=|BD|．…．（6分）
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)B坐標(biāo)為（x₂，y₂），
點(diǎn)C坐標(biāo)為（x₃，y₃），點(diǎn)D坐標(biāo)為（x₄，y₄），
將直線l的方程與橢圓C₁方程聯(lián)立可得$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，．…．（8分）
消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
所以有${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，．…．（9分）
將直線l的方程與橢圓C₂方程聯(lián)立可得$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，
消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
所以有${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，．…．（11分）
所以有弦AD的中點(diǎn)與弦BC的中點(diǎn)重合，．…．（13分）
所以有|AC|=|BD|．…．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．