Question

18．已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)a、b，都有f（ab）=f（a）+f（b）成立．
（1）求f（0）與f（1）的值；
（2）求證：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均為常數(shù)），求f（36）的值．

Answer 1

分析 （1）分別令a=b=0和a=b=1，即可求f（0）與f（1）的值；
（2）根據(jù)條件即可證明f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（3）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求f（36）的值．

解答 解：（1）∵f（ab）=f（a）+f（b），
∴令a=b=0，則f（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
令a=b=1，
則f（1）=f（1）+f（1），
即f（1）=0；
證明：（2）∵$\frac{1}{x}$•x=1，
∴f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=f（$\frac{1}{x}$•x）=f（1）=0，
則f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均為常數(shù)），
則f（2）+f（3）=f（2×3）=f（6），
即f（6）=p+q，
則f（36）=f（6×6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2p+2q．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．注意條件之間的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用．