Question

7．若x＞0，y＞0，且（x-1）（y-1）≥2，則xy的取值范圍為[3+2$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 展開已知式子可得xy≥x+y+1，由基本不等式可得$\sqrt{xy}$的不等式，解不等式可得$\sqrt{xy}$的范圍，平方可得答案．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且（x-1）（y-1）≥2，
∴xy-x-y+1≥2，即xy≥x+y+1，
由基本不等式可得xy≥x+y+1≥2$\sqrt{xy}$+1，
∴（$\sqrt{xy}$）²-2$\sqrt{xy}$-1≥0，
解關(guān)于$\sqrt{xy}$的不等式可得$\sqrt{xy}$≥1+$\sqrt{2}$，或$\sqrt{xy}$≤1-$\sqrt{2}$（舍去）
∴xy≥（1+$\sqrt{2}$）²=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1+$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
故答案為：[3+2$\sqrt{2}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解集，屬基礎(chǔ)題．