Question

如圖，正三棱柱ABC-A′B′C′（側棱垂直底面，底面為正三角形）中，D是BC的中點，AA′=AB=2
（1）求三棱錐A′-ABD的體積；
（2）求證：AD⊥B′D．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得AA′⊥平面ABD，AA′=2，S_△ABD=

1

2

S△ABC，由此能求出三棱錐A′-ABD的體積．
（2）由已知得AD⊥BC，AD⊥BB′，從而能證明AD⊥平面BC′B′，由此得到AD⊥B′D．

解答： （1）解：∵AA′⊥平面ABD，AA′=2，
S_△ABD=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×2×2×sin60°=

3

2

，
∴三棱錐A′-ABD的體積：
V=

1

3

×AA′×S△ABD=

1

3

×2×

3

2

=

3

3

．
（2）證明：∵正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，AD⊥BB′，
∴AD⊥平面BC′B′，
又B′D?平面BC′B′，
∴AD⊥B′D．

點評：本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．